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双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式

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双曲线的焦距是什么

一般来说,双曲线的焦距是双曲线的两个焦点之间的距离,焦距=2c,双曲线的焦距公式为c=√(a^2+b^2)。“椭圆焦距的意思:椭圆两个焦点间的距离,椭圆焦距的计算公式:焦距=2c。

知识拓展

一般的,双曲线(希腊语“περβολ”,字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。

在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。

双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。(其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。

双曲线焦点到顶点的距离公式

双曲线的第一定义是:动点到两定点距离差的绝对值等于定长的轨迹称为双曲线.

其中两定点间距离称为焦距,(设为2c),距离差称为长轴长(记为2a),

设b^2=c^2-a^2,称2b为虚轴长.其中a称为半长轴长,b称为半虚轴长.

a有几何意义,中心到顶点的距离.b也有几何意义,以中心为原点,以坐标轴为对称轴的双曲线,过点(a,b)和(-a,-b),(a,-b)和(-a,b)的两条直线是这双曲线的渐近线.

单纯讲半长轴,半虚轴是不够恰当的.

双曲线的焦距计算公式

B

试题分析:∵

,∴

,∴双曲线

的焦距为2c=

,故选C。

点评:双曲线的性质在高考中通常以选择题形式出现,难度不大,要求学生掌握最基本的知识。

双曲线的焦距怎么算出来的

在X轴上的是(c,0)和(-c,0)

在Y轴的是(0,c)和(0,-c)

c=根号(a^2+b^2)

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a,小于|F1F2|)的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线)

即:│|PF1|-|PF2│|=2a

定义1:

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e((e>1),即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为(焦点在x轴上)或(焦点在y轴上)。

定义3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。

定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。

1、a、b、c不都是零。

2、Δ=b2-4ac>0。

注:第2条可以推出第1条。

在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形。

上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称。

标准方程为:

1、焦点在X轴上时为:

双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式图1

(a>0,b>0)

2、焦点在Y轴上时为:

双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式图2

(a>0,b>0)

双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式图3

扩展资料:

取值范围

│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。

对称性

关于坐标轴和原点对称,其中关于原点成中心对称。

顶点

A(-a,0),A'(a,0)。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。

B(0,-b),B'(0,b)。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。

F1(-c,0)或(0,-c),F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c

对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2

渐近线

焦点在x轴:

双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式图4

焦点在y轴:

双曲线的焦距是什么,双曲线焦点到顶点的距离公式图5

圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角。

令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角,即θ=arccos(1/e)

令θ=0,得出ρ=ε/(1-e),x=ρcosθ=ε/(1-e)

令θ=π,得出ρ=ε/(1+e),x=ρcosθ=-ε/(1+e)

这两个x是双曲线定点的横坐标。

求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)

x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

(注意化简一下)

直线ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转π/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’

则θ’=θ-[π/2-arccos(1/e)]

则θ=θ’+[π/2-arccos(1/e)]

代入上式:

ρcos{θ’+[π/2-arccos(1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

即:ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

然后可以用θ取代式中的θ’了

得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1上的点在渐近线中

设M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则

y=(b/a)√(x2-a2)(x>a)

因为x2-a2

即y

所以,双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方。

根据对称性第二、三、四象限亦如此。

参考资料:

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